摘要：自然數包括 　　答案：自然數包括正整數和零。 　　自然數包括正整數和零，自然數是用以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數，表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮的團體，自然數有有序性，無限性，分為偶數和奇數，合數和質數等。 　　自然...

自然數包括

　　答案：自然數包括正整數和零。

　　自然數包括正整數和零，自然數是用以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數，表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮的團體，自然數有有序性，無限性，分為偶數和奇數，合數和質數等。

　　自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮的團體。自然數有有序性，無限性。分為偶數和奇數，合數和質數等。

　　表示物體個數的數0、1、2、3、4、5、6、……叫自然數。

　　從歷史上看，國內外數學界對于0是不是自然數歷來有兩種觀點：一種認為0是自然數，另一種認為0不是自然數。建國以來，我國的中小學教材一向規定自然數不包括0。目前，國外的數學界大部分都規定0是自然數。為了方便于國際交流，1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》（GB 3100-3102-93）《量和單位》（11-2.9）第311頁，規定自然數包括0。所以在近幾年進行的中小學數學教材修訂中，教材研究編寫人員根據上述國家標準進行了修改。即一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。

　　自然數集N是指滿足以下條件的集合：

　　①N中有一個元素，記作1。

　　②N中每一個元素都能在 N 中找到一個元素作為它的后繼者。

　　③1是0的后繼者。④0不是任何元素的后繼者。

　　⑤不一樣元素有不一樣的后繼者。

　　⑥（歸納公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。

　　自然數的分類：

　　1、按是否是偶數分，可分為奇數和偶數。奇數：不能被2整除的數叫奇數；偶數：能被2整除的數叫偶數，也就是說，除了奇數，就是偶數

　　注：0是偶數。(2002年國際數學協會規定，零為偶數，我國2004年也規定零為偶數，偶數能夠被2整除，0照樣能夠，只可是得數依然是0而已)。

　　2、按因數個數分，可分為質數、合數、1和0。質數：僅有1和它本身這兩個因數的自然數叫做質數，也稱作素數；合數：除了1和它本身還有其它的因數的自然數叫做合數；1：僅有1個因數；它既不是質數也不是合數，當然0不能計算因數，和1一樣，也不是質數也不是合數。

　　注：那里是因數不是約數。

　　自然數的性質

　　1.對自然數能夠定義加法和乘法。其中，加法運算“+”定義為：

　　a + 0 = a;

　　a + S(x) = S(a +x)， 其中，S(x)表示x的后繼者。

　　如果我們將S(0)定義為符號“1”，那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，“+1”運算可求得任意自然數的后繼者。

　　同理，乘法運算“×”定義為：

　　a × 0 = 0;

　　a × S(b) = a × b + a

　　自然數的減法和除法能夠由類似加法和乘法的逆的方式定義。

　　2.有序性。自然數的有序性是指，自然數能夠從0開始，不重復也不遺漏地排成一個數列：0，1，2，3，…這個數列叫自然數列。一個集合的元素如果能與自然數列或者自然數列的一部分建立一一對應，我們就說這個集合是可數的'，否則就說它是不可數的。

　　3.無限性。自然數集是一個無窮集合，自然數列能夠無止境地寫下去。

　　對于無限集合來說“，元素個數”的概念已經不適用，用數個數的方法比較集合元素的多少只適用于有限集合。為了比較兩個無限集合的元素的多少，集合論的創立者德國數學家康托爾引入了一一對應的方法。這一方法對于有限集合顯然是適用的，21世紀把它推廣到無限集合，即如果兩個無限集合的元素之間能建立一個一一對應，我們就認為這兩個集合的元素是同樣多的。對于無限集合，我們不再說它們的元素個數相同，而說這兩個集合的基數相同，或者說，這兩個集合等勢。與有限集比較，無限集有一些特殊的性質，其一是它能夠與自我的真子集建立一一對應，例如:

　　0 1 2 3 4 …

　　1 3 5 7 9 …

　　這就是說，這兩個集合有同樣多的元素，或者說，它們是等勢的。大數學家希爾伯特曾用一個趣味的例子來說明自然數的'無限性：如果一個旅館僅有有限個房間，當它的房間都住滿了時，再來一個旅客，經理就無法讓他入住了。但如果這個旅館有無數個房間，也都住滿了，經理卻仍能夠安排這位旅客：他把1號房間的旅客換到2號房間，把2號房間的旅客換到3號房間，……如此繼續下去，就把1號房間騰出來了。

　　4.傳遞性：設 n1，n2，n3 都是自然數，若 n1>n2，n2>n3，那么 n1>n3。

　　5.三岐性：對于任意兩個自然數n1，n2，有且僅有下列三種關系之一：n1>n2，n1=n2或n1

　　6.最小數原理：自然數集合的任一非空子集中必有最小的數。具備性質3、4的數集稱為線性序集。容易看出，有理數集、實數集都是線性序集。可是這兩個數集都不具備性質5，例如所有形如nm(m>n，m，n 都是自然數)的數組成的集合是有理數集的非空子集，這個集合就沒有最小數;開區間(0，1)是實數集合的非空子集，它也沒有最小數。

　　具備性質5的集合稱為良序集，自然數集合就是一種良序集。容易看出，加入0之后的自然數集仍然具備上述性質3、4、5，就是說，仍然是線性序集和良序集。

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